Ensayo y relato

METAMORFOSIS

La hipérbola es la curva de la ambición…. admirad la pertinaz persistencia de la ardiente asíntota, al perseguir a la hipérbola en una carrera desenfrenada; ella se aproxima, se aproxima siempre al final…. pero no lo alcanza.

Toussenel. El espíritu de las bestias. París, 1884.

Los ciudadanos acuden esa tarde al pequeño teatro que está junto al estadio, donde en otro tiempo se emplazó la escuela de oratoria. Filósofos, matemáticos, ingenieros, letrados, pueblo llano, todos se agrupan en la stoa para ver a dos sabios de la vecina Hélade, revividos e inmortalizados ante sus ojos. El propio rey, Eudamos, se encuentra ya en su tribuna. Él mismo ha manifestado su interés en la plática que va a dar comienzo, y no es para menos. Se sienten privilegiados por escuchar el debate entre esos dos genios que cobrarán vida solo para ellos. Geometría euclidea versus geometría hiperbólica. La caótica curva intentará doblegar a la inalterable recta. Nadie sabe cómo acabará esta discusión, pero todo está ya listo. El espacio escénico se representa por medio de un telón de fondo y unos bastidores llamados periactois.

Por fin, pausadamente, dos hombres hacen su aparición, pensando que la vida es un gran teatro en día festivo. Pero en el fondo se sienten histriones de una obra complicada, inacabada, ardua y volátil. Ellos son Pausístrato de Rodas y Glauco Postumio Albino, encarnando a Arquímides de Siracusa y Euclides de Alejandría, respectivamente. Han disertado durante años, y están dispuestos a entablar un largo debate sobre desafíos geométricos que muchos no entenderán, pero que no pasarán inadvertidos durante los próximos mil años.

Presentador:

—Tiempo atrás, hacia el (300 a.C), una obra de Euclides de Alejandría, titulada Los Elementos, marcó las líneas de las matemáticas y la geometría, que se han seguido hasta hoy. ¿Nos atreveremos los ciudadanos de Rodas en este día a traspasar los abismos del inframundo para escuchar la voz de Arquímides de Siracusa, cuestionando los postulados del libro I de los Elementos? ¿Seremos capaces de oír con atención lo que el propio Euclides afirme o niegue al respecto? Recibamos estos dos genios, y a otros que se le unirán, con nuestra mejor reverencia ¡Ellos lo merecen!

El presentador entrega un libro a Arquímides, que permanece inmóvil en una esquina. Éste, serio y concentrado, comienza a leer en voz alta un párrafo, ante la mirada expectante de su colega alejandrino.

1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera. 

El V Postulado afirma que por un punto P, exterior a una recta L puede pasar una recta y sólo una. ¿Es eso cierto, Euclides?

—Muy cierto, creo.

–Bien, pues estamos aquí hoy y sólo hoy con el fin de demostrarlo. Para empezar ¿te parece bien que partamos de una definición que di en “Sobre la esfera y el cilindro”

Euclides asiente.

“La recta es la más corta de todas las líneas que tienen los mismos extremos.” Un postulado que encaja muy bien con nuestra visión de rectas y planos,  pero que no excluye la validez de otras posibles interpretaciones. ¿Por qué no atrevernos a considerar una superficie esférica como un plano? ¿Por qué negar otras geometrías, si no son menos evidentes?

—Aún no hemos negado nada, Arquímides. Es más, te escucho con la curiosidad más viva, y estoy dispuesto a aceptar tus teorías si eres capaz de demostrarlas.

Un sirviente entra en escena portando un cesto. Lo deja en el suelo, lo destapa, y hace salir a una larga serpiente.

—Observad a la serpiente.—dice Arquímides—. Sus movimientos sinuosos, formando ondas. Tensando todos los músculos de su cuerpo para apoyarse en el suelo, y lograr el impulso hacia delante. ¿Qué os sugiere?

—¡Movimiento curvilíneo!—Gritan los asistentes del estrado.

—¡Rectas y curvas!

—Sí ¡ eso es! La serpiente es una recta…. que se convierte en curva. ¿Y que dicen los Elementos al respecto? Pues que todas las construcciones geométricas pueden realizarse mediante regla y compás. ¿Y que sucedía con las construcciones dinámicas, con los sólidos de revolución? ¿Sabéis lo que sucedía?

El público guarda silencio.

—Pues hagamos un poco de memoria: La definición XIV dice así: “Cuando, permaneciendo fijo el diámetro de un semicírculo, se hace girar el semicírculo y se vuelve de nuevo a la misma posición desde donde empezó a moverse, la figura comprendida es una esfera” Y lo mismo en las definiciones del cono (def. XVIII) y del cilindro (def. XXI). En este caso, una recta, entendida como la línea más corta, debería de ser el trozo de circunferencia máxima ) que pasa por dos puntos dados. En tal situación, por un punto exterior a una recta no pasaría ninguna recta paralela a la dada. Pero… para verlo con más claridad, voy a pediros que retrocedáis, con el pensamiento al menos, doscientos años. Pensad que nos hallamos en la Atenas de Pericles, y que una inmunda peste se extiende por la ciudad, diezmando a los atenienses. Estos, alarmados, consultan el oráculo de Delfos, y cuál no será su estupor al recibir un problema matemático como respuesta: Construir un nuevo altar para el templo de Apolo, pero duplicando el tamaño del que ya tenía, y que era de forma cúbica. Otra leyenda, menos popular, cuenta que una vez, el rey Minos de Creta, aquél del Minotauro, quiso duplicar el sepulcro de su hijo Glauco. Aún recuerdo los versos que le dedicaron:

“Escaso recinto señalaste para tumba real; que sea el doble y, sin que pierda belleza, al punto duplica cada miembro del sepulcro”.

Pues bien, en Atenas, como sabéis, construyeron un nuevo cubo cuya arista era el doble de la original. Pero la peste no cedió, porque se habían equivocado con los cálculos. Naturalmente, el altar no resultó el doble, sino 8 veces más grande. Un problema de fácil resolución mediante regla y compás, si el altar hubiese sido cuadrado. Pero no, era cúbico. ¡Cuanta desesperanza! ¿Podemos creer que toda Atenas hubiera muerto por culpa de estos dos instrumentos? ¡Regla y compás! ¿De verdad son éstas dos únicas herramientas de la matemática griega?

Pausa. El público se muestra expectante. Lo mismo hace Eudamos.

—Por fortuna Hipócrates de Quíos dejó de lado los altares y las sepulturas para resolver el problema con la geometría. ¿Qué cómo lo hizo? Pues intercalando dos medias geométricas entre la arista del cubo primitivo y la correspondiente al doble de la misma. Y fue precisamente un alumno suyo quien descubrió una nueva dimensión de esta vieja ciencia llamada geometría, una dimensión que nos transporta más allá del universo rectilíneo en el que estábamos apresados.

Menecmo hace su aparición.

—Menaechmus, alumno de la escuela platónica, descubrió las secciones cónicas mientras trataba de resolver la duplicación del cubo. Nada menos que la famosa tríada de curvas que serían renombradas por Apolonio como: elipse, parábola, hipérbola ….

—Demostró que las curvas generadas a partir de conos tienen la facultad de producir dos medias entre dos extremos. Cuéntanos, buen Menecmo, ¿de dónde surgen esas extrañas curvas…. ¿solucionaron al fin el viejo problema de la duplicación del cubo?

—Parábolas, hipérbolas y elipses se obtienen al cortar un cono en un plano no paralelo a su base. Logré demostrar que la parábola tiene la propiedad a de ser una media entre dos extremos, mientras que la hipérbola abarca dos. De modo que el problema consistía en encontrar el punto de intersección de dos cónicas, de dos parábolas, o de una parábola y una hipérbola.

Parábola e hipérbola

Arquímides:

—La intersección de una hipérbola y una parábola produce el resultado de situar dos medias entre dos extremos, por lo que las secciones cónicas resolvían el problema. Mas no termina la cuestión tan fácilmente. No, porque para desdicha del genial Menecmo, encontrar el punto de intersección de esas dos cónicas supone un problema mayor que duplicar el cubo. ¿Sabéis por qué? ¡Pues porque no se puede resolver mediante regla y compás! Así de sencillo. ¡No se puede!

Pausa.

—Llegados a este punto cabe preguntarnos si la tiranía de la regla y el compás no se trata de una confabulación, de un canto a la ortodoxia introducido ladinamente en Los Elementos. ¿Qué piensas, Euclides, de todo ello?

—Nunca me he pronunciado en contra de nuevas teorías. Por el momento me limitaré a escuchar, y ser testigo de tus demostraciones. Prometedoras, por lo que veo.

—Pues demos la bienvenida a un nuevo invitado. ¿Qué piensa de esta discusión el gran Pitágoras de Samos?

Pitágoras entra en escena, leyendo un fragmento del Timeo de Platón

—En principio, que no es posible unir bien dos elementos aislados sin un tercero, ya que es necesario un vínculo en el medio que los una. Y no olvidemos que, como dijo Platón los sólidos nunca son conectados por un término medio, sino siempre por dos.”Timeo.  Los pitagóricos descubrimos las medias aritmética y geométrica a través de las relaciones entre intervalos musicales. La media aritmética es diferencia en común de tres números: b−a = c−b. Por ejemplo, 3 es la media aritmética entre 1 y 5. La media geométrica se obtiene cuando 3 números están en proporción constante: a:b::b:c. Por ejemplo, 2:4::4:8. Hipócrates admitió que los intervalos formados por líneas expresan la relación aritmética, mientras que la geométrica viene expresada por los intervalos que se crean al añadir cuadrados, es decir, las áreas. Si era posible realizar la construcción de dos medias entre dos extremos “desde las sombras”, podía aplicarse este principio a la duplicación del cubo. Así que, hoy y ahora, tenemos el honor de recibir, a un alumno de Platón, Arquitas de Tarento, quien ofreció una imponente solución al problema.

Llegada de Arquitas.

—Háblanos, gentil Arquitas, de tu célebre construcción, esa tan vistosa.

—Mi construcción se basó en una estructura de tres dimensiones, con la que logré encontrar un punto de intersección de tres superficies de revolución: un cono, un cilindro y un toro.

—¡Audaz construcción para su época! —exclamó Arquímides—Observad la figura y decidme si no parece salida de un imaginario mundo futuro, alejado ya por completo de las superficies planas.

—Tal resultado se demuestra como sigue—señaló Arquitas:

Construcción de Arquitas

La longitud mayor es AC, que es el diámetro de un círculo. Ese círculo rota alrededor de A para formar un toro. Entonces se produce un cilindro perpendicular al toro, cuyo diámetro también es AC.

La magnitud menor AB es una cuerda de una sección transversal del toro. AB se extiende hasta que interseca al cilindro, formando un triángulo que, al girar, produce un cono. Las tres superficies intersecan en el punto P”. Siendo P es un punto común al cilindro y al toro, la longitud del segmento OP y la de su proyección sobre el plano OXY son medias proporcionales entre 2a y b .La superficie del cono de revolución se encontrará en algún punto P de la curva formada por la intersección del medio cilindro y el medio toro.

—Y aunque quedó demostrado—añadió Arquímides—que esta construcción sólo era posible en el dominio de las superficies curvas y no en el de las sombras. Pero se trata de un resultado afín con tus teorías, ¿No es así, Pitágoras de Samos?

—Efectivamente, —asintió el Maestro—si tenemos en cuenta que lo cinco sólidos pueden ser construidos a partir de la esfera. En todo sólido se puede trazar tres esferas peculiares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro.

Arquímides:

—Así pues, los axiomas del V Postulado de Los Elementos resultan obvios, porque el mundo que nos rodea, plano a primera vista, parece confirmarlos. Pero no sucede lo mismo cuando proyectamos figuras geométricas, haciendo que las paralelas se toquen en el infinito. Ni en la geometría esférica, donde las rectas paralelas llegan a tocarse. Sigamos, pues, con las curvas. ¿No es cierto, Menecmo, que un hermano tuyo consiguió la cuadratura del círculo?

Menecmo:

—Cierto. Lo hizo empleando los teoremas de Thales, los de Pitágoras, y… la misma curva mecánica que ya utilizara Hipías, un siglo antes. De modo que la trisectriz de Hipías se convirtió en la cuadratriz de Dinóstrato.

—Cuéntanos qué pasó después

Menecmo:

—Dinóstrato no empleó regla y compás exclusivamente, por lo que su solución fue entendida como una vulneración de los fundamentos matemáticos griegos.

—Una vez más, lo de siempre. ¡El inamovible dogma!

Pitágoras:

—Veréis…. cuando el oráculo ordenó a los delianos que ampliaran el altar de su templo, Platón les recomendó que se centraran en el problema de duplicar el cubo, dejando de lado lo esotérico. Sin duda sabía que, más que un oráculo, se trataba de un ejercicio en el que mostrar su habilidad de los practicantes. Yo siempre impuse a mis discípulos ejercicios para descubrir verdades que, aunque invisibles a los ojos, estimulan nuestros sentidos, creando paradojas. Los nuevos descubrimientos dan lugar a nuevas paradojas, y el proceso se repite sin fin.

—Ahora os pregunto, —inquirió Arquímides —¿no es cierto que una de las mayores incógnitas respecto a la duplicación del cubo es la existencia de una solución mecánica? ¿Acaso no existen curvas cuya construcción sólo puede hacerse mediante el movimiento?

—Platón argumentó que Arquitas y yo—señaló Menecmo—habíamos utilizado medios mecánicos, y por tanto irracionales, para duplicar el volumen del cubo. Dicen que él halló una solución demostrando el teorema de Pitágoras mediante triángulos isósceles.

—Hagamos un alto en el camino—dijo entonces Euclides—porque intuyo que Arquímides, en este punto, está deseando demostrarnos algo. Recuérdanos tu descubrimiento predilecto, maestro de Siracusa. Aquél, que te hizo sentir tan orgulloso, y cuyos cuerpos geométricos hiciste grabar en tu tumba .

Arquímides

—Por razonamientos similares a los realizados en la medida del círculo, llegué a la conclusión de que, dados un cilindro y una esfera inscrita en él, el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro en el que está inscrita. Con lo cual, obtenemos el volumen de la esfera a partir de un cilindro.

Volumen del cilindro

EUCLIDES:

Genialidad natural es no darse por vencido cuando uno sabe que está en lo cierto. Pero ahora…. sé que deseas comunicarnos algo más a través de tu esfera y tu cilindro. Y estoy deseando escucharte.

—Si desdoblamos un cilindro—prosiguió Arquímides— las rectas del plano, como es lógico, se curvan, pero se mantiene el axioma euclidiano de que la distancia entre dos puntos es la línea recta, aunque en este caso sea curva. Serían “rectas curvas”, que no intersectan. Los triángulos y las circunferencias del plano se seguirán llamando de igual modo en esta superficie cilíndrica. Éste es el punto principal de todo cuanto he expuesto. ¿Y sabéis por qué?

Cilindro y curvas

Euclides le miró fijamente, pero no dijo palabra.

—Pues porque , todos los postulados de Euclides se siguen cumpliendo, y lo mismo hacen los teoremas de su geometría. Bueno, todos excepto uno. Las rectas aquí se transforman en curvas, que determinan la menor distancia entre dos puntos de la superficie. Y dos puntos también determinan aquí una recta, aunque curva, según el axioma de Euclides. Las rectas paralelas en el plano corresponderán así a curvas paralelas, que no se interceptan nunca. Sirvan como ejemplo las asíntotas de la hipérbola, líneas que se prolongan indefinidamente sin llegar a tocarse. Pero no fui yo, sino el sabio Menecmo, quien demostró que las secciones cónicas mantenían las principales propiedades como lugares planos, y podían expresarse geométricamente, lo que permitió a Apolonio de Perga deducir nuevas propiedades de las cónicas.

—Apolonio—señaló Menecmo— describió las propiedades de la parábola, entre ellas la reflexión de la luz. Si un espejo parabólico recibe rayos incidentes paralelos al eje del espejo, la luz reflejada se concentrará en un único punto, llamado foco.

—Y ante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa—apuntó Euclides— Arquímides utilizó esta propiedad, inventando un complicado sistema e de espejos metálicos en forma de parábola, que concentraron los rayos solares e incendiaron no pocas naves romanas.

—A través del cilindro circular—añadió Arquímides— podemos obtener sólo elipses y círculos, pues sus paredes verticales impiden el plano de intersección tenga la inclinación necesaria para conseguir parábolas e hipérbolas. Por ello Menecmo recurrió a otro modelo curvo, que hoy se complace en describirnos.

—Se trata de una superficie de revolución donde la generatriz es la hipérbola con sus dos ramas. Nos muestra cómo, por un punto P, exterior a L pueden pasar, al menos, dos rectas paralelas a la recta dada L. Se trata de un triángulo en un plano al que llamaremos paraboloide hiperbólico, y con él nace una nueva geometría a la que llamaremos…. ¡hiperbólica! Siento decirte, Euclides, que invalida tu quinto postulado, aquél que reza:

“Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela”

Paraboloide hiperbólicoPorque resultan visibles dos rectas paralelas divergentes en este nuevo modelo. Al igual que se muestra una leve distorsión de los triángulos, haciendo que la suma de sus medidas sea menor que dos ángulos rectos, no igual. Luego, “Por un punto exterior a una recta se pueden trazar más de una recta paralelas a la dada (de hecho se pueden trazar infinitas paralelas)”.

—¡Curiosas propiedades las de esta geometría!—exclamó Arquímides, con énfasis— Caminos nuevos hacia un universo hiperbólico, tan distinto del plano euclídeo. En este novedoso entorno, por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas paralelas a ella (esto es, que nunca la corten). Lo que demuestra podemos cambiar los modelos geométricos siempre y cuando respetemos los axiomas originales. En esta nueva geometría las líneas paralelas se acaban encontrando, y los círculos pueden transformarse en elipses, parábolas e hipérbolas. O incluso en líneas rectas o puntos, si su ángulo de inclinación es el adecuado. Que quede por fin demostrado: ninguna línea, si se prolonga lo suficiente, es recta. Todas las líneas se acaban curvando sobre sí mismas y, al final, al menos en teoría, retornan a su punto de origen.

Pausa.

Euclides realiza su discurso, elogiando los méritos de su viejo alumno Arquímides, y mostrándose receptivo a las nuevos teoremas, y a la nueva geometría.

—Seguro que Arquímides recuerda con nostalgia los años de Alejandría, el despuntar de un templo de sabiduría capaz de relevar a la mismísima Atenas. Bien podríamos considerar a su biblioteca como un santuario dedicado a la ciencia, y considerar a Erastótenes, su director por aquellos tiempos, como el sumo sacerdote.

Euclides se queda en silencio unos instantes, como perdido en el tiempo. Luego alza la vista y sus palabras vuelven al presente.

—Arquímides  era un niño cuando su padre le envió a Egipto, y allí fue donde le di sus primeras clases de aritmética. Un niño nacido para cambiar el futuro de la física, de la geometría, de las matemáticas. Un genio al que los reyes de Siracusa supieron reconocer. Él no se conformó con estudiar estas disciplinas de forma separada, sino que aplicó las leyes de la palanca o los centros de gravedad de los polígonos a la geometría, a las curvas ante las que acabamos de admirarnos, logrando resultados sorprendentes. Como ya hemos dicho, y no me cansaría de repetir, fue el primero en considerar que un área está formada por la suma de la medida de los segmentos rectilíneos y que un volumen es una suma de superficies planas, abriendo el horizonte hacia una nueva forma de cálculo. Un horizonte que iba mucho más allá de la regla y el compás, como él bien sabe, como todos sabemos. Después, Apolonio de Perga reinventó las cónicas. Como dijiste antes, las asíntotas se dirigen al infinito, y hacia él apuntan las ramas de la hipérbola. Ésta, junto a la parábola y la elipse, están formadas por curva y recta a la vez, pero el círculo no. El círculo es curva pura, frente a la línea recta, y en medio están… las cónicas.

En ese momento las puertas del proscenio se abren y entran siete doncellas con vestidos de seda, cada una con una serpiente en la frente, portando doradas coronas de victoria. Representan a la Osa Mayor, y se les llama Tyches (fortunaé), del cielo. Tres jóvenes que han descendido desde la constelación de la Estrella Polar, hasta la Espiga del eje del Mundo alrededor del cual giran los cielos, y al agujero de los cielos, dentro al cual gira la espiga.

Los cinco sabios pueden ahora alcanzar la región allende la esfera celeste y contemplar el Más Allá con el dios de los mundos.

 

Relato breve

Anamnesis

One day, she discovered something. It was a pleasure to read those school encyclopedias from the 1970s, where all the children science was compiled on a single book. Not in vain they became collector’s pieces. But that morning everything would be different. While studying the lessons, a singular picture caught her eye and touched her heart. There was a message on that picture, and somehow it nested in the depths of her mind, like a lizard sleeping among the winter shadows.

 Adolescence came walking across Victorian boulevards. The silent statues watched the passer-by impassible, but nobody gave a damn for them. She often passed next to the Goddess Cybele, who stood stately on the fountain. But she only knew that Cybele shared her urban status with the stormy Neptune and the lyric Apollo, because Charles III had decided it.

 One evening, another magic symbol appeared in front of her eyes. An anonymous artist had painted it on the party wall of a downtown building, where he also wrote a motto. Abstractly, she wondered herself about its meaning. But she passed straight through and life stuck on its ways. So it goes in urban forest.

Thirty years passed as if nothing happened. Somewhere far from her hometown, she used to walk along the seaside. When looking for inspiration, she found an old abandoned caravan. And browsing inside became an overriding feeling.

 Her heart was beating fast, like a child one’s waiting for Santa Claus. There were hundreds of tools and so much stuff around, but she felt in love with an antique desk. It was so surrealistic! Slowly, she opened one of the drawers, and found a worn wooden box. What is there inside? She thought. It was very well closed, and she pressed once again. An small crack, and then…

Her writer’s curiosity was rewarded. In some way, years working on a novel highlight legends. She knew that an ancestral cult was symbolized by a black stone surrounded by holy water. And a dense black stone was the treasure, the mysterious dream hidden in that wooden box.

Shortly afterwards, a casual click on the web opened wide her memory’s balcony. She recognized the atavistic image instantly. It was her Holy Grail, the black stone surrounded by fire and water from her old encyclopedia.

 Oh, God! Why was memory such a trickster and imprecise thing? The picture from the school book, the statue of Cybele and the black stone from the caravan were an unique revealed mystery. She felt like Dante coming out of the dark jungle.

Now time has passed, and a few words resonate in her memory, like the babbling sea. Hundreds of years ago, a town was founded, and a black stone with a written key became part of its legend. It was her distant beloved town. Writers spoke about it in old books, and artists painted it on walls. So, it said:

“I was built-up over water, my walls are made of fire. This is my emblem and my blazon”.

 

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